ポアソン過程の定常増分性って?意味と証明を解説

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どうも!初めましての方は初めまして、初心者のWebサイト勉強のとみーです!

ポアソン過程には、定常増分性という性質があります。

とみー
とみー

今回は、その定常増分性についてわかりやすくまとめました!

対象レベル

確率の基本的な知識がある方(高校数学〜大学入門)

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ポアソン過程の定常増分性の前に

ポアソン過程の定常増分性について考える前に、ひとまずポアソン過程について簡単に復習しておきましょう。

ポアソン過程の直感的な理解

詳しくはこちらの記事で解説していますが、ポアソン過程とは

ある時刻までに希少現象が発生した回数の総和

を表す確率過程です。

ポアソン過程の簡単な具体例

例えば、ある店に客が来店するというのは希少事象として考えられるので、時刻 $t$ までに来客した累計人数を $\Lambda (t) $ とすると、$\Lambda (t)$ はポアソン過程です。

店に客が来店するというのは直感的には「珍しい」事象ではありませんが、例えば「1秒間に客が来店する確率」のように非常に短い時間を考えると、確率的には「珍しい」事象といえます。

他にも

  • 1日の交通事故件数
  • コールセンターで1時間あたりにかかってくる電話件数
  • 1分間で発生するWebサーバーへのアクセス数

といった様々な事象がポアソン過程では考えられます。

とみー
とみー

今回は、店に来店した累計客数を $\Lambda(t)$ として統一します。

ポアソン過程はポアソン分布に従う

ポアソン過程 $\Lambda(t)$ はポアソン分布 $Pois(\lambda t)$ に従います。数式で書くと

$\Lambda(t) \sim Pois(\lambda t)$

です。

ここで、$\lambda$ は正のパラメータです。

とみー
とみー

復習は以上です!早速定義に移りましょう!

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定常増分性の定義

ポアソン過程 $\Lambda(t)$ は次で定義される定常増分性を持ちます。

定常増分

任意の $h$ について、

$\Lambda(t + h) \; -\; \Lambda(t)$ は $t$ に依存しない

  • $\Lambda(t+h)$:時刻 $t+h$ までに到着した客数
  • $\Lambda(t)$:時刻 $t$ までに到着した客数

なので、$\Lambda(t+h) \;-\; \Lambda(t)$ は時刻 $t$ から $t+h$ の間に到着した客数を表します。

とみー
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これが $t$ に依存しないということは、ある期間 $h$ の間にどれくらい客が来るかを考えるにあたって、「いつの期間 $h$」かを考える必要がないということです。

簡単な具体的例

例えば、「1時間内に到着した客数」といった場合

  • 1:00〜2:00の間の客数
  • 2:00〜3:00の間の客数
  • 3:00〜4:00の間の客数

など様々なケースが考えられますが、ポアソン過程ではその1時間が「何時から」の1時間であっても関係ありません。

最初の時刻が「何時から」であっても、「1時間」という情報だけがわかれば分析できるのです。

とみー
とみー

数学的な定義を見てみると、より理解が深まるはずです。

定常増分の数学的な定義

定常増分性は、数学的には次のように定義されます。

定常増分

任意の $h$ について、

$\Lambda(t + h) \; -\; \Lambda(t) \sim Pois(\lambda h)$

ここで、$\lambda > 0$ は $\Lambda(t) \sim Pois(\lambda t)$ となるパラメータです。

この式が表すのは、

  • 確率変数 $\Lambda(t+h) \; – \; \Lambda(t)$ は
  • パラメータ $\lambda h$ のポアソン分布 $Pois(\lambda h)$ に従う

ということです。

とみー
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パラメータに $t$ が含まれていないことから、$t$ に依存しないことは明らかですね!

また、パラメータに $h$ が含まれていることから、期間の長さ $h$ には依存することもわかります。

確率過程のおすすめ

以上で説明は終了です。ここからは証明になるので、興味がある方はじっくり読んでみましょう。

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ポアソン過程の定常増分性の証明

証明にあたっては、確率母関数というものを使います。

確率母関数

確率母関数は、整数値を取る確率変数 $X$ に対して以下のように定義されます。

定義

$G_X(z) = \mathbb{E} [z^X] = \displaystyle \sum_{i=0}^\infty \mathbb{P}(X = i) z^i$

とみー
とみー

確率母関数についてはこれだけです!

式変形の際にポアソン過程の独立増分性も使うので、それについても簡単に触れておきましょう。

ポアソン過程の独立増分性

ポアソン過程には、$[a_1, \; a_2] \cap [b_1, \; b_2] = \varnothing $ となる $(a_1, a_2, b_1, b_2) \in \mathbb{R}^4$ について、

  • $\Lambda(a_2) \; – \; \Lambda(a_1)$
  • $\Lambda(b_2) \; – \; \Lambda(b_1)$

独立であるという独立増分性があります。

とみー
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この性質の詳しい意味については、こちらをご覧ください。

証明

まず、ポアソン過程 $\Lambda(t)$ は $Pois(\lambda t)$ に従うので、

$ \begin{eqnarray} G_{\Lambda(t)} (z) &=& \mathbb{E} [z^{\Lambda(t)}] \\ &=& \sum_{i=0}^\infty \color{blue} \mathbb{P}(\Lambda(t) = i) \color{black} z^i \end{eqnarray}$

ポアソン分布の確率質量関数

$\color{blue}\mathbb{P}(\Lambda (t) = i) = \displaystyle \frac{e^{-\lambda t} (\lambda t)^i }{i!}$

だから

$\begin{eqnarray} G_{\Lambda(t)} (z) &= \sum_{i=0}^\infty \color{blue}\frac{e^{-\lambda t} (\lambda t)^i }{i!} \color{black} z^i \\ &= e^{-\lambda t} \color{red}\sum_{i=0}^\infty \frac{ (z \lambda t)^i }{i!} \end{eqnarray}$

ここで、指数関数のマクローリン展開を考えると

$ \begin{eqnarray} \color{red}\sum_{i=0}^\infty \frac{ (z \lambda t)^i }{i!} = e^{z \lambda t} \end{eqnarray}$

なので

$ \begin{eqnarray} G_{\Lambda(t)} (z) &=& e^{-\lambda t} \color{red} e^{z \lambda t} \color{black} \\ &=& e^{- \lambda t (1 – z)} \end{eqnarray}$

同様に

$ \begin{eqnarray} G_{\Lambda(t+h)} (z) &=& e^{- \lambda (t+h) (1 – z)} \end{eqnarray}$

次に、

$ \begin{eqnarray} G_{\Lambda(t+h)} (z) &=& \mathbb{E} [z^{\Lambda (t+h)}] \\ &=& \mathbb{E} [z^{\Lambda (t)} \cdot z^{\Lambda (t+h) – \Lambda(t)}] \end{eqnarray}$

で、独立増分性から

$ \begin{eqnarray} G_{\Lambda(t+h)} (z) &=& \mathbb{E} [z^{\Lambda (t)}] \mathbb{E}[ z^{\Lambda (t+h) – \Lambda(t)}] \\ &=& G_{\Lambda(t)} (z) G_{\Lambda(t+h) – \Lambda(t)} (z) \end{eqnarray}$

が成り立つ。

以上をまとめると、

$ \begin{eqnarray} G_{\Lambda(t+h) – \Lambda(t)}(z) &=& \frac{G_{\Lambda(t+h)} (z)}{G_{\Lambda(t)} (z)} \\ &=& \frac{e^{- \lambda (t+h) (1 – z)}} {e^{- \lambda t (1 – z)}} \\ &=& e^{- \lambda h (1 – z)} \end{eqnarray}$

最後の $e^{- \lambda h (1-z)}$ は $G_{\Lambda(h)} (z)$ に他ならないので、

$G_{\Lambda(t+h) – \Lambda(t)}(z) = G_{\Lambda(h)} (z)$

つまり、確率変数 $\Lambda(t+h) – \Lambda(t)$ は $\Lambda(h)$ と同じ確率分布に従う

ポアソン過程 $\Lambda(h)$ は $Pois(\lambda h)$ に従うので、

$\Lambda(t+h) \;- \;\Lambda(t) \sim Pois(\lambda h)$

まとめ

今回は、ポアソン過程の定常増分性を解説しました。

とみー
とみー

ポアソン過程の基本的な性質として押さえておきましょう!

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