ポアソン過程の到着率とポアソン分布のパラメータの関係

ポアソン過程の到着率とポアソン分布のパラメータの関係再生過程
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どうも!初めましての方は初めまして、初心者のWebサイト勉強のとみーです!

ポアソン過程は、

  1. 独立増分を備え
  2. ポアソン分布 $Pois(\lambda t)$ に従う

時刻 $t$ に関する計算過程 $\Lambda (t)$ として定義されます。

とみー
とみー

ポアソン過程の基本について、詳しくはこちらで分かりやすく解説しています。

そんなポアソン過程には、到着率と呼ばれる値があります。

到着率は、$\lambda$ で表記されることが多いです。

そこで今回は、その「到着率」についてコンパクトにまとめてみました!

対象レベル

確率の基本的な知識がある方(高校数学〜大学入門)

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ポアソン過程の到着率とは

そもそもポアソン過程とは、

ある時刻までに希少現象が発生した回数の総和

を表す確率過程です。

来店人数を例に考える

例えば、時刻 $t$ までに店に来客した累計人数を $\Lambda (t) $ とすると、$\Lambda (t)$ はポアソン過程です。

到着率の意味

累計到着人数の例を踏まえると、到着率は文字通り

単位時間あたりの到着確率

を表します。

とみー
とみー

そのままですね!

それでは、この到着率は数学的にはどのように表現されるのでしょうか?

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ポアソン過程の到着率とポアソン分布のパラメータ

ポアソン過程 $\Lambda (t)$ は、冒頭でも紹介したように

ポアソン分布 $Pois(\lambda t)$

に従います。

とみー
とみー

ここで、$\lambda > 0$ は正のパラメータです。

数式で書くと

$\Lambda(t) \sim Pois(\lambda t)$

ですね。

実は、ポアソン過程の到着率は

ポアソン分布のパラメータ $\lambda$ と等しい

という関係があります。

つまり、ポアソン分布 $\Lambda (t)$ がポアソン分布 $Pois(\lambda t)$ に従うなら、到着率は $\lambda$ だといえます。

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なぜ到着率とポアソン分布のパラメータが等しいのか

なぜポアソン分布のパラメータを到着率として考えていいかは、少し式変形をすれば簡単に分かります。

まず、ポアソン過程には

という性質があるため、到着率単位時間で1人が到着する確率になります。

微小時間 $h$ で1人が到着する確率

微小時間 $h$ で1人が到着することは

$\Lambda(t + h) \; – \; \Lambda(t) = 1$

と表されるので、微小時間で1人が到着する確率は

$\mathbb{P} (\Lambda(t + h) \; – \; \Lambda(t) = 1)$

となります。

ここで、ポアソン過程の定常増分性から、

$\Lambda(t + h) \; – \; \Lambda(t) \sim Pois(\lambda h)$

が成り立つので、

$\mathbb{P} (\Lambda(t + h) \; – \; \Lambda(t) = 1) = \lambda h e^{-\lambda h}$

となります。

微小時間から単位時間に変換

以上を踏まえると、単位時間で1人が到着する確率は上の式を $h$ で割ればいいので

$\displaystyle \frac{\mathbb{P} (\Lambda(t + h) \; – \; \Lambda(t) = 1)}{h} = \lambda e^{-\lambda h}$

ですね。

極限を取る

これまでは微小時間 $h$ から始まった話だったので、最後に $h \rightarrow 0$ の極限を取れば到着率が求められます。

$\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \lambda e^{-\lambda h} = \lambda$

とみー
とみー

到着率が $\lambda$ だと求められました!

ゆえに、ポアソン過程の到着率は

ポアソン分布のパラメータ $\lambda$ と等しい

です。

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まとめ

今回は、ポアソン過程の到着率を解説しました。

とみー
とみー

こうして数式で紐解いていくと説得力がありますね!

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