【統計学入門】観測空間とは？実例を通してわかりやすく解説！

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統計学を学ぶ上で大切なのは、

ということで、これを数学的に議論するために観測空間という概念が存在します。

統計学における観測空間 $(\underline{\mathcal{X}}, \underline{\mathscr{A}})$

観測空間 $(\underline{\mathcal{X}}, \underline{\mathscr{A}})$ とは、

です。

ポイントは次の２つです。

1. 確率変数 $\underline{X}$ が値を取る標本空間
2. 可測空間

確率変数 $\underline{X}$ が値を取る標本空間

「サイコロを１回振る」という場面を考えましょう。

このとき、サイコロの出る目を確率変数 $\underline{X}$ とすると、$\underline{X}$ は１〜６の値を取ります。記号で書くと

$$\underline{X} \in \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$$

ですね。

このように確率変数が取るすべての値を含んだ集合を標本空間といい、$\underline{\mathcal{X}}$ と表します。

$$\mathcal{\underline{X}} = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$$

なぜ標本空間を考えるのか

標本空間は、分かりやすく言えば

を表しています。

平均値の算出などの統計的処理のためには、標本空間を考えることが大事なのです。

それでは $(\underline{\mathcal{X}}, \underline{\mathscr{A}})$ の $\underline{\mathscr{A}}$ は一体何者でしょうか？標本空間 $\underline{\mathcal{X}}$ さえわかれば「どんな集団からのデータか」を判断するのには十分な気がしますよね。

その答えとなるのが、可測空間です。

可測空間

話を簡単にするために、ここでは４面のサイコロ（目が１〜４）を考えます。振る回数は１回です。

$$\underline{\mathcal{X}} = \{ 1, 2, 3, 4\}$$

さて、サイコロが実際に出せる目は１〜４しかありませんが、見方を変えると奇数が出る場合や偶数が出る場合も考えられますよね。

さらに極端な例を考えると「１か２か３か４が出る」事象なんて言うのも考えられます。

「１か２が出る」という事象を $\{ 1, 2\}$ のように表すと、考えられる事象は全部で次の１５通りもあります。

また、「１か２か３か４が出る」というのは「サイコロを１回振った」ということと同じなので、逆に「サイコロを１回も振っていない」という事象も考えられるでしょう。

この場合は、

空集合 $\phi$

を使って表します。

標本空間 $\underline{\mathcal{X}}$ しか与えられていないと、今のような数え上げを毎回行わなければならないので、さすがに面倒ですよね。そこで、あらかじめ

\begin{eqnarray} \underline{\mathscr{A}} = &\{& \\ && \phi, \{ 1\}, \{ 2 \}, \{ 3 \}, \{ 4 \}, \\ &&\{ 1, 2 \}, \{ 1, 3 \}, \{1, 4\}, \\ &&\{ 2, 3 \}, \{ 2, 4 \}, \{ 3, 4 \}, \\ &&\{ 1,2,3 \}, \{1,2,4 \}, \{1,3,4\}, \{2,3,4\} \\ &&\{ 1,2,3,4\} \\ &\}&\end{eqnarray}

という集合の集合（集合族）を考えておき、

という情報も事前に用意しておくのです。

一般に、集合 $E$ とσ加法族 $\mathscr{E}$ をペアにして考えた $(E, \mathscr{E})$ のことを可測空間と言います。

観測空間は標本空間とσ加法族のペア

つまり、観測空間は標本空間 $\underline{\mathcal{X}}$ とσ加法族 $\underline{\mathscr{A}}$ をペアで考えた可測空間です。

２つをペアにして考えることで

が分かりやすくなります。

σ加法族についてもっと詳しく

ここまでで何となくのイメージは掴めたと思います。

ここからはσ加法族について、もう少し詳しく見ていきましょう。

部分集合族とは

σ加法族を考える前に、まず部分集合族とは何かを理解する必要があります。

部分集合

２つの集合 $E, F$ について、$F$ の全ての要素が $E$ に含まれているとき、 $F$ は $E$ の部分集合であるといいます。

記号で書くと、

$$F \subset E$$

です。

部分集合族

ある集合族 $\mathcal{E}$ と集合 $E$ について、$\mathcal{E}$ の全ての要素（集合）が $E$ の部分集合であるとき、$\mathcal{E}$ は $E$ の部分集合族であるといいます。

記号で書くと

$$\forall A \in \mathscr{E}, A \subset E$$

です。

以上を踏まえて、σ加法族の定義を見てみましょう。

σ加法族とは

次の３つを満たす、ある集合 $E$ の部分集合族 $\mathscr{E}$ をσ加法族といいます。

1. $\phi \in \mathscr{E}$
2. $A \in \mathscr{E} \implies E \backslash A \in \mathscr{E}$
3. $(A_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \mathscr{E}^{\mathbb{N}} \implies \displaystyle \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n \in \mathscr{E}$

順番に意味を見ていきましょう。

$\phi \in \mathscr{E}$

これは、「何もしない」事象が含まれているということです。

$A \in \mathscr{E} \implies E \backslash A \in \mathscr{E}$

これは、事象 $A$ が含まれているなら、その余事象も含まれているということです。

例えばサイコロを１回振ったときに、

「１の目が出る」

という事象があるならば

「１以外が出る＝２〜６のどれかが出る」

という事象もある、ということです。

$(A_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \mathscr{E}^{\mathbb{N}} \implies \displaystyle \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n \in \mathscr{E}$

これは、事象 $A$ と事象 $B$ が含まれているなら、その和事象 $A \cup B$ も含まれているということです。

例えばサイコロを１回振ったときに、

「１の目が出る」

「２の目が出る」

という事象があるならば

「１か２が出る」

という事象もある、ということです。

σ加法族は複数存在する

以上の３つの性質を備えていれば何でもσ加法族といえるので、実は１つの集合に対するσ加法族はいくつも存在します。

例として、

• $E = \{1, 2, 3, 4 \}$
• $\mathscr{E} = \{\phi, \{1, 3\}, \{ 2,4\}, \{1,2,3,4\}\}$

を考えましょう。

以上より、$\mathscr{E} = \{\phi, \{1,3\}, \{ 2,4\}, \{1,2,3,4\}\}$ はσ加法族です。

そして、最初の方に説明した４面サイコロを振る例の

\begin{eqnarray} \underline{\mathscr{A}} = &\{& \\ && \phi, \{ 1\}, \{ 2 \}, \{ 3 \}, \{ 4 \}, \\ &&\{ 1, 2 \}, \{ 1, 3 \}, \{1, 4\}, \\ &&\{ 2, 3 \}, \{ 2, 4 \}, \{ 3, 4 \}, \\ &&\{ 1,2,3 \}, \{1,2,4 \}, \{1,3,4\}, \{2,3,4\} \\ &&\{ 1,2,3,4\} \\ &\}&\end{eqnarray}

も $E$ のσ加法族です（確認してみましょう！）。

σ加法族に関する注意点

上の例からわかる注意点として

ということがあります。

先ほどの $\mathscr{E} = \{\phi, \{1, 3\}, \{ 2,4\}, \{1,2,3,4\}\}$ には、$\{1 \}$ や $\{3,4\}$ が含まれていませんね。

すべての部分集合を含まなくてもいい場合

４面サイコロを振る例について引き続き考えましょう。

得られたデータをもとに分析を行う際に、実際の目の数値はどうでもいいけど「奇数が出たかどうか」を知りたいという場面は珍しくありません。

そのため、ここではすべての事象を含んだ $\underline{\mathscr{A}}$ は考えすぎで、

$$\mathscr{E} = \{\phi, \{1,3\}, \{ 2,4\}, \{1,2,3,4\}\}$$

で十分役目を果たすことができます。

このように注目したいものが限定的な場合は、すべての事象を網羅したσ加法族 $\underline{\mathscr{A}}$ を使わずに、

$$(E, \mathscr{E})$$

を観測空間として設定することが考えられます。

一般的に選ばれるσ加法族

とはいえ実際は色んな事象を考慮したい場合が多いので、一般的にはすべての事象を網羅したσ加法族が使われます。

標本空間が離散の場合

例えば標本空間が $\mathbb{N}$ や $\mathbb{Z}$ の場合です。

このような場合、σ加法族には標本空間の冪集合（$\mathcal{P}(\mathbb{N})$ や $\mathcal{P}(\mathbb{Z})$）を考えることが多いです。

つまり、$(\mathbb{N}, \mathcal{P}(\mathbb{N}))$ や $(\mathbb{Z}, \mathcal{P}(\mathbb{Z}))$ を観測空間として取ることが多いです。

標本空間が $\mathbb{R}$ の場合

標本区間が $\mathbb{R}$ の場合は、$\mathcal{B} (\mathbb{R})$ という記号で表される任意の

を含むσ加法族を使うことが多いです。

「ほとんどすべて」ということは完全にすべての事象を含んでいるわけではないのですが、そうした $\mathcal{B} (\mathbb{R})$ から除外された集合の確率は普通考えないので、基本的には何でも含んでいるσ加法族という認識で問題ありません。

練習問題

問題１

コインを１回投げ、出た面を確率変数 $\underline{\mathcal{X}}$ とします。このときの観測空間を答えなさい。ただし、σ加法族は冪集合を用いるものとします。

問題２

$E = \{a, b, c\}, \mathscr{E} = \{\phi, \{a\}, \{a, b\}, \{a, b, c\} \}$ とするとき、$\mathscr{E}$ はσ加法族かどうか答えなさい。

まとめ

今回は、統計学の観測空間についてσ加法族まで踏み込んでご紹介しました。