【統計学入門】データの表記法を実例とともに解説！

どうも！初めましての方は初めまして、初心者のWebサイト勉強のとみーです！

ここ数年の機械学習・人工知能に対する需要・人気の高まりを受けて、背景となる統計・数学について勉強する機会も増えてきました。

統計学を勉強する上での第一歩は、データをどのように表記するかを理解することです。

統計学におけるデータの表記法

データの書き方には色々なバリエーションがありますが、本サイトでは

の３つをデータを表す文字として使います。

$\underline{x}$ は集計したデータ（標本）を表す

サイコロを $n$ 回振った時に出た目を集計する例を考えましょう。このとき、出た目を

$$x_1, x_2, \cdots, x_n$$

のように表すことにします。

この表記を用いると、サイコロを７回振った結果は次の表のようになります。

$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	$x_6$	$x_7$
3	5	1	2	2	6	3

このとき、集められたデータをわざわざ $x_1, x_2, \cdots, x_n$ と書くのは大変なので、$\underline{x}$ と書きます。つまり、

$$\underline{x} = (x_1, \cdots, x_n)$$

としてベクトルのように表します。

$\mathcal{\underline{X}}$ は標本空間を表す

$\underline{x} = x_1$ の場合（サイコロを１回振った場合）を考えましょう。目は１〜６のどれかなので

$$x_1 \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6 \}$$

が成り立ちます。

このとき、上の式の $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ は、サイコロが出せるすべての目を集めた集合です。

このように、すべての場合を含んだ集合を標本空間（母集団）と呼び、$\mathcal{\underline{X}}$ で表します。

例えばサイコロを２回振った場合、$(x_1, x_2) = (1, 1)$ や $(x_1, x_2) = (6, 4)$ のような組み合わせが考えられるため、標本空間は

$$\mathcal{\underline{X}} = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \}^2$$

となります。

$\underline{X}$ は確率変数を表す

先ほど $\mathcal{\underline{X}}$ の説明で、サイコロを１回振った時の目 $x_1$ は１〜６のどれかになることを確認しました。

つまり、$x_1$ は定数なんだけど、ちょっと変数的な側面も備えているのです。

このようにどっちつかずの状態だと扱いが難しいので、次のように考えます。

1. （サイコロを振る前）サイコロを１回振る時に出る目を $X_1$ とする。
2. まだサイコロを振っていないので、$X_1$ は１〜６のどれかわからない変数として扱う。
3. （サイコロを振った後）目が出たので $X_1$ はこの時点で変数でなくなる。そこで、変数だった時と区別するために、実際に出た目は $x_1$ で表す。

ポイントは、実際に出る前の目を大文字 $X_1$ で表し、出た後の確定された目を小文字 $x_1$ で表すところです。

このように、起こりうる値（今回の例だとサイコロの目）を変数として考えた $X_1$ のことを確率変数、実際に観測された値 $x_1$ のことを実現値といいます。

$n$ 回振った場合も考え方は同じです。

１回目に出た目（実現値）が $x_1$ ということは、それに対応する確率変数 $X_1$ が存在し、２回目に出た目（実現値）が $x_2$ ということは、それに対応する確率変数 $X_2$ が存在します。

まとめて考えると、実現値が $\underline{x} = (x_1, \cdots, x_n)$ なので、確率変数は $\underline{X} = (X_1, \cdots, X_n)$ ということになります。

練習問題

問題１

コインを３回投げ、順番に表、裏、裏の結果が得られました。このときの $\underline{x}$ を答えなさい。

問題２

コインを２回投げた時の目を $\underline{x}$ とするとき、標本空間 $\mathcal{\underline{X}}$ を求めなさい。

まとめ

今回は、統計学を学ぶ上での第一歩となるデータの表記法についてご紹介しました。